REPASO DE ALGEBRA DE CONJUNTOS
V.Abraira
Dado un conjunto A={a, b, c, d}, la relación de pertenencia se representa por a Î A.
Se llama cardinal del conjunto, y se representa car(A), al número de elementos que contiene.
Se llama conjunto vacío, y se representa por Æ, al conjunto que no contiene ningún elemento. No desespere, estamos de acuerdo en que si no contiene ningún elemento, no es un conjunto, sin embargo su definición como tal es muy útil.
Se llama universo o conjunto universal, y se suele representar por H, al conjunto formado por todos los elementos que se están considerando.
Dado un conjunto A, se llama complementario del mismo, y se representa por Ac, al conjunto formado por los elementos del universo que no son de A.
Dos conjuntos son iguales si están formados por los mismos elementos.
Se dice que B es subconjunto de A, y se representa B Ì A, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice también que B está incluido en A.
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa A È B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
Ejemplo 1: A={a, b, c, d} B={c,d, e, h}
A ÈB = {a, b, c, d, e, h}
Ejemplo 2: C={personas obesas} D={personashipertensas}
C ÈD = {personas obesas o hipertensas}
Se llama intersección y serepresenta A ÇB, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
Ejemplo 3: para los conjuntos anteriores
A ÇB = {c, d} C ÇD = {hipertensos y obesos}
Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se llaman disjuntos y su intersección es el conjunto vacío. Si, para el ejemplo 2, en el universo que se está considerando no hay nadie que sea hipertenso y obeso C Ç D = Æ
Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado se le denomina conjunto de las partes del conjunto o álgebra y se representa por P(A)
Ejemplo: A = {1, 2, 3}
P(A) = {Æ,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Propiedades de la inclusión
i) A ÌA
ii) ÆÌ A
iii) A ÌB ÞB ËA ; sólo si A = B
iv) A ÌB y B ÌD ==> A ÌD
Propiedades de la unión e intersección
| i) Identidad | A È Æ = A | A ÇH = A |
| ii) Idempotencia | A È A = A | A Ç A = A |
| iii) Commutatividad | A È B = B È A | A Ç B = B Ç A |
| iv) Asociatividad | (A È B) È D = A È (B È D) | (A ÇB) Ç D = A Ç (B Ç D) |
| v) Distributividad | (A È B) Ç D = (A ÇD) È (B Ç D) | (AÇB) È D = (A È D) Ç (B È D) |
| vi) Absorción | A È (A Ç B) = A | A Ç (A È B) = A |
| vii) Complementaridad | A È Ac = H | A Ç Ac = Æ |
Nota: A todo conjunto en el que se hayan definido dos operaciones que tengan estas propiedades, se le denomina Algebra de Boole.
Función de conjunto: toda regla que de un modo perfectamente determinado haga corresponder un número real a cada elemento del conjunto. Se representa por
f: A ®Â
el número x que le corresponde alelemento a, se representa por x=f(a)
Se denomina imagen de la función al conjunto de números que están en correspondencia con algún elemento, a través de la función.
im f = { x ÎÂ;a ÎA , f(a)=x }
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